УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Аникуев С.В.
____________________________
____________________________
«___» _____________ 20___ г.
получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности;
развитие способностей использовать основы экономических знаний в различных сферах деятельности, к самоорганизации и самообразованию;
развитие навыков работы с данными: автоматизированный сбор, подготовка данных для анализа, статистический анализ и визуализация с использованием Excel;
развитие навыков формирования аналитических отчетов и их эффективной презентации.
структуру и ключевые понятия теории вероятностей; содержание и смысл их определений;
типовые теоретико-вероятностные модели, принципы их построения и условия применимости.
умеет
обоснованно выбирать подходящие теоретико-вероятностных модели для решения профессиональных задач, поставленных в предметной формулировке;
владеет навыками
выполнять расчёты в рамках теоретико-вероятностных моделей, анализа и интерпретации полученных результатов;
методологии сбора статистических показателей и подготовки исходных данных к анализу; методологии расчета показателей; основные методы анализа данных, относящиеся к предметной области
умеет
проводить сбор первичных данных, выполнять анализ данных с помощью базового статистического инструментария; интерпретировать результаты исследования и формировать аналитические отчеты
владеет навыками
сбор и подготовка исходных данных к анализу; применение базовых методов
Изучение дисциплины осуществляется в 3семестре(-ах).
час/з.е.
тельная ра-
бота, час
час
ции
занятия
в интерактивной форме
час/з.е.
(вид интерактивной формы проведения занятий)/(практическая подготовка)
(и/или раздела)
часов / часов интерактивных занятий/ практическая подготовка
Классификация событий. Алгебра событий. Диаграммы Эйлера-Венна. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Элементы комбинаторики.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Формула Бернулли, Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Формы представления законов распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты распределения.
Основные законы распределения случайных величин. Функции случайных величин.
Закон больших чисел и предельные теоремы. Случайные векторы. Закон распределения дву-мерного случайного вектора.
Числовые характеристики случайных векторов. Нормальные случайные векторы и их свой-ства. Регрессия.
Выборочный метод. Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Чтение и анализ таблицы в MS Excel
Ошибки I и II рода. Уровень значимости и мощность крите-рия. Проверка гипотез о равен-стве средних и дисперсий двух генеральных совокупностей. Проверка гипотез о законе распределения. Критерий Пирсона.
Линейная парная регрессия. Определение параметров регрессий методом наименьших квад-ратов. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства и оценка достоверности. Ранговая корреляция. Применение пакета MS Excel для осуществления регрессионного анализа
раздела
дисциплины
(вид интерактивной формы проведения занятий)/(практическая подготовка)
часов / часов интерактивных занятий/ практическая подготовка
контролю
1. Рабочую программу дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
2. Методические рекомендации по освоению дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
3. Методические рекомендации для организации самостоятельной работы обучающегося по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».
4. Методические рекомендации по выполнению письменных работ (расчетно-графическая работа).
5. Методические рекомендации по выполнению контрольной работы студентами заочной формы обучения.
Для успешного освоения дисциплины, необходимо самостоятельно детально изучить представленные темы по рекомендуемым источникам информации:
(№ источника)
(из п.8 РПД)
(из п.8 РПД)
(из п.8 РПД)
Текущий контроль проводится в течение семестра с целью определения уровня усвоения обучающимися знаний, формирования умений и навыков, своевременного выявления преподавателем недостатков в подготовке обучающихся и принятия необходимых мер по её корректировке, а также для совершенствования методики обучения, организации учебной работы и оказания индивидуальной помощи обучающемуся.
Промежуточная аттестация по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» проводится в виде Зачет.
За знания, умения и навыки, приобретенные студентами в период их обучения, выставляются оценки «ЗАЧТЕНО», «НЕ ЗАЧТЕНО». (или «ОТЛИЧНО», «ХОРОШО», «УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬ-НО», «НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» для дифференцированного зачета/экзамена)
Для оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности в университете приме-няется балльно-рейтинговая система оценки качества освоения образовательной программы. Оценка проводится при проведении текущего контроля успеваемости и промежуточных аттестаций обучающихся. Рейтинговая оценка знаний является интегрированным показателем качества теоретиче-ских и практических знаний и навыков студентов по дисциплине.
В соответствии с балльно-рейтинговой системой оценки, принятой в Университете студентам начисляются баллы по следующим видам работ:
В случае отказа – студент сдает зачет (дифференцированный зачет, экзамен) по приведенным выше вопросам и заданиям. Итоговая успеваемость (зачет, дифференцированный зачет, экзамен) не может оцениваться ниже суммы баллов, которую студент набрал по итогам текущей и промежуточной успеваемости.
При сдаче (зачета, дифференцированного зачета, экзамена) к заработанным в течение семестра студентом баллам прибавляются баллы, полученные на (зачете, дифференцированном зачете, экзамене) и сумма баллов переводится в оценку.
2. Определение вероятностей (классическое, статистическое).
3. Основные свойства вероятности.
4. Вероятностное пространство и аксиоматика.
5. Условная вероятность, формула умножения вероятностей.
6. Теорема о полной вероятности.
7. Формула Байеса.
8. Независимость случайных событий.
9. Теорема сложения и умножения для случайных событий.
10. Независимые испытания, схема Бернулли (вероятность успеха).
11. Наивероятнейшее число успехов в серии испытаний.
12. Предельная теорема Бернулли.
13. Теоремы Муавра-Лапласа.
14. Случайная величина и функция распределения.
15. Дискретные случайные величины, их характеризация.
16. Непрерывные случайные величины, плотность распределения.
17. Характеристики положения случайной величины.
18. Характеристики рассеяния случайной величины.
19. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.
20. Равномерное распределение и показательное распределение.
21. Распределение Коши и Парето.
22. Нормальное распределение и его основные свойства.
23. Стандартное нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа.
24. Логарифмически нормальное распределение.
25. Система случайных величин. Функция ее распределения.
26. Условные функция и плотность распределения случайных величин.
27. Независимость случайных величин. Условие независимости.
28. Понятие стохастической зависимости случайных величин.
29. Корреляционная зависимость случайных величин.
30. Коэффициент корреляции и его свойства.
31. Функция случайных величин, теорема о плотности распределения.
32. Распределение суммы случайных величин.
33. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
34. Теорема Маркова.
35. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
36. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка.
37. Статистический ряд.
38. Генеральная и выборочная средняя. Генеральная и выборочная дисперсия.
39. Статистические оценки.
40. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
41. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
43. Обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов.
44. Статистические гипотезы.
45. Статистическая проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости и мощность критерия.
46. Критическая область. Область принятия гипотезы.
47. Понятие о критериях согласия.
48. Хи-квадрат критерий Пирсона. Проверка гипотезы о соответст¬вии наблюдаемых значений предполагаемому распределению вероятностей (дискретному или непрерывному).
49. Сравнение параметров двух нормальных распределений.
50. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
51. Уравнения регрессии, корреляционная таблица. Групповые средние.
52. Основные задачи теории корреляции: определение формы и оценка тесноты связи.
53. Линейная парная регрессия.
54. Определение параметров прямых регрессий методом наименьших квадратов.
55. Выборочная ковариация.
56. Формулы расчета коэффициентов регрессии.
57. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства и оценка достоверности.
58. Ранговая корреляция
59. Выборочное уравнение регрессии.
60. Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии по не сгруппированным данным.
61. Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по сгруппированным данным.
62. Множественная линейная регрессия
Темы рефератов
Элементы теории вероятностей (Тема 1. Случайные события, Тема 2. Случайные вели-чины и векторы)
1. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
2. Конечное вероятностное пространство.
3. Классические парадоксы теории вероятностей.
4. Совместное распределение нескольких случайных величин.
5. Неравенство Чебышева.
6. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин.
7. Теорема Чебышева.
8. Теорема Бернулли и устойчивость относительных частот.
9. Цепи Маркова.
10. Процессы с независимыми приращениями.
11. Пуассоновский процесс.
12. Процессы гибели и размножения.
13. Бином Ньютона.
14. Перестановки с повторениями.
15. Алгебра событий.
16. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
17. Наивероятнейшее число наступления события.
18. Свойства интегральной функции Лапласа.
19. Свойства интегральной функции распределения случайной величины.
Математическая статистика
20. Генеральная совокупность и выборка. Сущность выборочного метода.
21. Вариационные ряды и его характеристики.
22. Повторная и бесповторная выборка. Ошибки регистрации и репрезентативности, предельная ошибка выборки.
23. Средняя ошибка выборки, для средней и для доли.
25. Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания): несмещенность, состоятельность, эффективность оценок.
26. Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней.
27. Точечная оценка генеральной дисперсии. “Исправленные” выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
28. Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность.
29. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.
30. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
31. Оценка вероятности по частости: точечная и интервальная.
32. Законы распределения Стьюдента, Пирсона, Фишера.
33. Статистическая проверка гипотезы. Статистическая гипотеза: нулевая и альтернативная, параметрическая и непараметрическая. Ошибки I и II рода.
34. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Отыскание правосторонней, левосторонней, двусторонней критических областей. Понятие мощности критерия.
35. Проверки гипотез.
36. Построение теоретического закона распределения по данному вариационному ряду.
37. Сравнение нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа.
38. Использование таблиц Excel для обработки результатов выборок.
39. Расчеты корреляции и регрессии в таблицах Excel.
Вопросы для коллоквиумов
Раздел 1. Элементы теории вероятностей
1. Понятие случайного события. Алгебра событий.
2. Определение вероятностей (классическое, статистическое).
3. Основные свойства вероятности.
4. Вероятностное пространство и аксиоматика.
5. Условная вероятность, формула умножения вероятностей.
6. Теорема о полной вероятности.
7. Формула Байеса.
8. Независимость случайных событий.
9. Теорема сложения и умножения для случайных событий.
10. Независимые испытания, схема Бернулли (вероятность успеха).
11. Наивероятнейшее число успехов в серии испытаний.
12. Предельная теорема Бернулли.
13. Теоремы Муавра-Лапласа.
14. Случайная величина и функция распределения.
15. Дискретные случайные величины, их характеризация.
16. Непрерывные случайные величины, плотность распределения.
17. Характеристики положения случайной величины.
18. Характеристики рассеяния случайной величины.
19. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.
20. Равномерное распределение и показательное распределение.
21. Распределение Коши и Парето.
22. Нормальное распределение и его основные свойства.
23. Стандартное нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа.
24. Логарифмически нормальное распределение.
25. Система случайных величин. Функция ее распределения.
26. Условные функция и плотность распределения случайных величин.
27. Независимость случайных величин. Условие независимости.
29. Корреляционная зависимость случайных величин.
30. Коэффициент корреляции и его свойства.
31. Функция случайных величин, теорема о плотности распределения.
32. Распределение суммы случайных величин.
33. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
34. Теорема Маркова.
35. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
Раздел 2. Элементы математической статистики
1. Понятия: группа, выборка, генеральная совокупность. Независимые и связанные выборки.
2. Вариационный ряд и гистограмма частотного распределения.
3. Понятие о нормальном распределении и отклонения от него.
4. Организация эксперимента. Контрольные и экспериментальные группы.
5. Порядок статистической обработки научных данных.
6. Ранжирование данных. Распределение данных. Интервальная шкала. Выражение результатов в процентах.
7. Параметрические критерии. Значение проверки нормальности распределения.
8. Сравнение параметрических и непараметрических методов и критериев.
9. Параметрические характеристики выборки и их смысл.
10. Среднее значение. Его смысл.
11. Параметрические оценки среднего значения для количественных и качественных признаков.
12. Стандартное отклонение и его смысл (для выборки и генеральной совокупности). Ошибка среднего значения и её смысл.
13. Сравнение двух выборок. Достоверность различий. Уровни значимости.
14. Статистические гипотезы: нулевая и альтернативная, направленная и ненаправленная.
15. Оценка различий по критериям Фишера и Стьюдента. Ограничения критериев.
16. Доверительные интервалы и их смысл.
17. Дисперсия. Её смысл и значение.
18. Критерий Стьюдента для сравнения двух групп данных. Его смысл и ограничения.
19. Критерии хи-квадрат, их предназначение и ограничения.
20. Корреляция и ее смысл. Взаимосвязь и взаимозависимость. Значимость корреляционной свя-зи.
21. Коэффициент корреляции Пирсона.
22. Непараметрические критерии.
23. Ранговая корреляция, коэффициент корреляции Спирмена.
24. Многофункциональные статистические критерии, их достоинства и ограничения.
25. Дисперсионный анализ. Границы его применения.
26. Однофакторный дисперсионный анализ.
27. Двухфакторный дисперсионный анализ.
28. Обоснования для выбора статистического критерия. Мощность критерия.
29. Графики и диаграммы в оценке данных, их виды.
30. Внесение данных и их организация в электронных таблицах типа Excel.
31. Расчёт среднего значения и стандартного отклонения в электронных таблицах типа Excel.
32. Вычисление коэффициента корреляции Пирсона в электронных таблицах типа Excel.
33. Функциональные и регрессионные зависимости в биологии.
34. Регрессионный анализ и его смысл.
35. Понятие о статистических задачах и условиях, которые требуют разных критериев.
36. Алгоритмы решения статистических задач.
Расчетно-графическая работа № 2 «Случайные величины и векторы»
Задача 1
Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти числовые характеристи-ки этой величины. Составить интегральную функцию величины Х. Построить полигон и указать на нем .
Вариант № 1
X 10 13 17 20 25
р 0,4 0,3 0,1 0,15 0,05
Задача 2
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случай-ной величины , если известны математические ожидания , и дисперсии , случайных величин и :
15
61
0,02
0,04
Задача 3
Дана функция распределения случайной величины. Найти:
1) плотность распределения случайной величины;
2) числовые характеристики случайной величины;
3) вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ;
4) построить графики функций и .
.
Расчетно-графическая работа № 13 «Элементы математической статистики»
При проведении исследований получили набор данных. Провести статистическое исследова-ние данной выборки. Для этого:
1) составить интервальный вариационный ряд;
2) построить:
а) гистограмму (для интервального вариационного ряда),
б) полигон (для середин частотных интервалов),
в) кумуляту (для интервального вариационного ряда),
г) огиву (для середин частотных интервалов);
3) определить выборочные характеристики:
а) моду,
б) медиану,
в) среднее арифметическое,
г) дисперсию,
д) среднее квадратичное отклонение,
е) коэффициент вариации,
ж) асимметрию,
з) эксцесс;
4) найти точечные оценки параметров:
а) несмещенную оценку математического ожидания,
б) исправленную выборочную дисперсию,
в) исправленное среднее выборочное отклонение;
5) учитывая, что проводилась 10 %-ная случайная выборка, при уровне значимости определить:
б) объем выборки, при котором с доверительной вероятностью предельная ошибка выборки уменьшится в 2 раза при сохранении уровня остальных характеристик.
Реализованной продукции, млн. руб.
2,0 4,8 5,2 3,8 3,5 3,2 3,2 3,9 4,9 2,8 3,7 1,8 3,4 2,3 3,2 4,5 0,5 3,3 2,8 2,5 1,4 3,2 3,5 2,2 2,3 3,5 3,5 4,1 4,4 2,3 1,9 2,2 3,8 3,4 2,2 3,1 2,1 2,1 3,2 2,5 2,1 2,9 2,8 3,1 4,3 2,8 4,0 2,3 2,7 2,4 2,4 2,3 2,4 2,9 2,2 3,6 2,1 3,2 2,3 2,9
Курс Теория вероятности и математическая статистика относится к дисциплинам базовой части цикла дисциплин, который рассчитан на 108 часов.
Курс «Теория вероятности и математическая статистика» изучается во третьем семестре. По-следовательность изложения разделов и тем курса, количество часов на каждый раздел составляется в соответствии с потребностями в математическом аппарате других дисциплин согласно общему учебному плану.
На лекции отводится 18 часов.
Цель лекционного курса – теоретическая подготовка студентов по курсу. В лекциях сооб-щаются основные сведения по курсу «Теория вероятности и математическая статистика», излагают-ся методические проблемы и способы их решения с опорой на предыдущие знания студентов. Лек-ции готовят студентов к критическому анализу литературы, математических программ, учебников на разных ступенях обучения. Студенты знакомятся с общим подходом изложения материала, общей картины мира с точки зрения статистических методов. Дальнейшее осмысление и уточнение знаний, приобретенных на лекциях, осуществляются на практических занятиях, цель которых – формирова-ние умений применения усвоенных ранее знаний для практического решения задач.
На практические занятия отводится 36 часа. На практических занятиях, проводимых по группам, студент овладевает основными методами и приёмами решения задач, а также получает разъяснение теоретических положений курса. Практические задачи служат для закрепления теоре-тических основ, излагаемых в лекциях, получение практических навыков решения математических задач. Занятия проходят с использованием рабочих тетрадей, в которых отражен необходимый ми-нимум задач для освоения курса и тем.
а) для слабовидящих:
- на промежуточной аттестации присутствует ассистент, оказывающий студенту необходимую техническую помощь с учетом индивидуальных особенностей (он помогает занять рабочее место, передвигаться, прочитать и оформить задание, в том числе записывая под диктовку);
- задания для выполнения, а также инструкция о порядке проведения промежуточной аттестации оформляются увеличенным шрифтом;
- задания для выполнения на промежуточной аттестации зачитываются ассистентом;
- письменные задания выполняются на бумаге, надиктовываются ассистенту;
- обеспечивается индивидуальное равномерное освещение не менее 300 люкс;
- студенту для выполнения задания при необходимости предоставляется увеличивающее устройство;
в) для глухих и слабослышащих:
- на промежуточной аттестации присутствует ассистент, оказывающий студенту необходимую техническую помощь с учетом индивидуальных особенностей (он помогает занять рабочее место, передвигаться, прочитать и оформить задание, в том числе записывая под диктовку);
- промежуточная аттестация проводится в письменной форме;
- обеспечивается наличие звукоусиливающей аппаратуры коллективного пользования, при необходимости поступающим предоставляется звукоусиливающая аппаратура индивидуального пользования;
- по желанию студента промежуточная аттестация может проводиться в письменной форме;
д) для лиц с нарушениями опорно-двигательного аппарата (тяжелыми нарушениями двигательных функций верхних конечностей или отсутствием верхних конечностей):
- письменные задания выполняются на компьютере со специализированным программным обеспечением или надиктовываются ассистенту;
- по желанию студента промежуточная аттестация проводится в устной форме.